Доверительный интервал - это диапазон значений, который с определенной вероятностью содержит неизвестный параметр генеральной совокупности. Рассмотрим методы расчета доверительных интервалов для различных статистических параметров.
Содержание
Основные понятия
| Термин | Определение |
| Доверительный уровень | Вероятность (обычно 90%, 95% или 99%), что интервал содержит истинный параметр |
| Точечная оценка | Выборочная статистика (среднее, пропорция и др.) |
| Предельная ошибка | Половина ширины доверительного интервала |
Формула доверительного интервала
Доверительный интервал = Точечная оценка ± (Критическое значение × Стандартная ошибка)
Доверительный интервал для среднего (нормальное распределение)
При известном σ (стандартном отклонении)
- Вычислите выборочное среднее (x̄)
- Определите z-критическое значение для выбранного уровня доверия
- Рассчитайте стандартную ошибку: σ/√n
- Постройте интервал: x̄ ± z*(σ/√n)
При неизвестном σ (используется t-распределение)
- Вычислите выборочное среднее (x̄)
- Рассчитайте выборочное стандартное отклонение (s)
- Определите t-критическое значение для n-1 степеней свободы
- Постройте интервал: x̄ ± t*(s/√n)
Критические значения для разных уровней доверия
| Доверительный уровень | z-значение | t-значение (n=30) |
| 90% | 1.645 | 1.699 |
| 95% | 1.960 | 2.045 |
| 99% | 2.576 | 2.756 |
Доверительный интервал для пропорции
- Вычислите выборочную пропорцию (p̂)
- Определите z-критическое значение
- Рассчитайте стандартную ошибку: √(p̂(1-p̂)/n)
- Постройте интервал: p̂ ± z*√(p̂(1-p̂)/n)
Факторы, влияющие на ширину интервала
- Объем выборки (n) - обратная зависимость
- Доверительный уровень - прямая зависимость
- Разброс данных - прямая зависимость
Пример расчета для среднего
| Параметр | Значение |
| Выборочное среднее (x̄) | 50 |
| Стандартное отклонение (s) | 10 |
| Объем выборки (n) | 25 |
| 95% доверительный интервал | 50 ± 2.064*(10/5) = [45.872, 54.128] |
Программные средства расчета
- Excel: функции ДОВЕРИТ.НОРМ() и ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ()
- R: t.test(), prop.test()
- Python: scipy.stats.norm.interval(), scipy.stats.t.interval()
- SPSS: Анализ → Описательные статистики → Исследование
Правильное определение доверительного интервала позволяет оценить точность статистических выводов и надежность полученных результатов. Выбор метода расчета зависит от типа данных, объема выборки и требуемого уровня достоверности.
